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Quantification optimale et
probabilités numériques
La quantification vectorielle a été initialement développée au
lendemain de la seconde guerre mondiale dans le but d'optimiser les
conditions de transmission de signaux stationnaires en les discrétisant
- en les quantifiant donc - de façon optimale.
Une large part de ces recherches a été développée au sein des Bell
Laboratories aux Etats-Unis sous le nom de quantification vectorielle
(vector quantization). Longtemps domaine réservé des spécialistes de la
théorie du signal et de l'information, la quantification optimale
suscite depuis le milieu des années 1990 l'intérêt de plusieurs équipes
de probabilistes en France (LPMA-UMR 7599 Univ. Paris 6&7, LAMA-UMR
8050 Univ. MlV-Paris 12) et en Allemagne (Univ. Trier, Univ. Berlin)
notamment.
Les méthodes de quantification trouvent aujourd'hui toute leur place au
sein des probabilités numériques, en particulier pour la résolution de
problèmes issus de Finance de marchés comme :
-
le pricing d'options exotiques (options
asiatiques B&S, Heston, SABR,...) et de dérivés de taux (modèles
CIR,...) à l'aide de formules dites de « cubatures ».
Le développement de recherches dans le domaine
de la quantification vectorielle (signaux de dimension finie) se
poursuit aujourd'hui essentiellement en lien avec les applications en
traitement du signal et en probabilités numériques.
L'explosion des capacités de calcul intensif dans les dernières
décennies est à la fois un outil et un moteur de ce développement.
Parallèlement, un nouveau domaine émerge depuis une dizaine d'années
sous le nom de « quantification fonctionnelle ». Il s'agit d'étendre
les concepts de quantification à la dimension infinie. Du point de vue
des applications, il s'agit de discrétiser de façon optimale l'espace
des trajectoires d'un processus stochastique c'est-à-dire d'un
phénomène aléatoire dynamique. L'archétype d'un tel processus est le
mouvement brownien. Ces travaux récents sont à la base des méthodes de
pricing d'options ayant des payoffs trajectoires dépendants évoqués
ci-dessous.
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Quantification vectorielle
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A space vector quantization method for numerical
integration, G. Pagès, J.
Computational and Applied Mathematics, 89, 1-38, (1998).
-
Quantization of probability distributions under norm-based
distortion measures, Sylvain Delattre, Siegfried Graf, H. Luschgy
et G. Pagès, Statistics & Decision, 22, 261-282,
(2004).
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Sharp asymptotics of the Kolmogorov entropy for Gaussian
measures, Harald Luschgy et
Gilles Pagès, Journal of Functional Analysis, 212,
89-120, (2004).
-
Local distortion and µ-mass of the cells of one
dimensional asymptotically optimal quantizers, S. Delattre, J.C. Fort et G. Pagès, Comm.
Statist. Theory Methods, 33(5), 1087-1117,
(2004).
-
Asymptotics of optimal quantizers for some scalar
distributions, Jean Claude Fort
et G. Pagès, J. Computational & Applied Mathematics,146,
n°2, 253-275, (2002).
Quantification fonctionnelle
-
Functional quantization of Gaussian processes, H. Luschgy et G. Pagès, Journal of
Functional Analysis, 196(2), 486-531, (2002).
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Sharp asymptotics of the functional quantization problem
for Gaussian processes, H. Luschgy et G. Pagès, The Annals of Probability,32(2),
1574-1599, (2004).
-
Functional quantization and small balls probabilities for
Gaussian processes, S. Graf, H.
Luschgy et G. Pagès, Journal of Theoretical Probability, 16(4)
1047-1062, (2003).
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High-resolution product quantization for Gaussian
processes under sup-norm distortion, Harald Luschgy et Gilles
Pagès, pré-pub LPMA, (2005).
-
Optimal quantizers for Radon random vectors in a Banach
space, Siegfried Graf, Harald Luschgy et Gilles Pagès, J. of Approximations 144, 27-53 (2007).
-
Functional quantization of a class of Brownian diffusions:
A constructive approach, H.
Luschgy et G. Pagès, Stochastic Processes and Applications 116(2),
310-336, (2006).
Quantifications optimales ou optimisées
-
Optimal Quantization : Evolutionary Algorithm vs Stochastic Gradient,
Moez Mrad, Sana Ben Hamida, Proceedings of the 9th Joint Conference on Information Sciences, Ed. Cheng, H.D.,
Chen, S.D., Lin, R.Y., Atlantic Press, 2006. doi:10.2991/jcis.2006.161
Quantification vectorielle : applications numériques à la Finance
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A
quantization algorithm for solving discrete time
multidimensional optimal stopping problems, Vlad Bally, Gilles
Pagès,
Bernoulli, 9(6), 1003-1049, 2003.
-
Error
analysis of the quantization algorithm for obstacle problems, Vlad
Bally, Gilles Pagès, Stochastic Processes & Their Applications, 106(1),
1-40, 2003.
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A Stochastic quantization method for
nonlinear problems, Vlad Bally, Gilles Pagès et Jacques
Printems, Monte Carlo Methods and Appl. 7(1), 21-34 (2001).
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An
Optimal Markovian Quantization Algorithm for Multidimensional
Stochastic Control Problems, G. Pagès, H.
Pham, J. Printems, Stochastics and Dynamics 4(4), 501-545
(2004).
Quantification fonctionnelle
appliquée à la Finance
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